Der Prinz und der Gloeckner
Visuelltexte

Banachscher Fixpunktsatz

Grundlage für einige automatisch ablaufende dynamische Visuelltexte ist der Banachsche Fixpunktsatz, der garantiert, daß die durchgeführten Abbildungen gegen genau einen Fixpunkt konvergieren...

Banachscher Fixpunktsatz:
Sei X eine (nichtleere) abgeschlossene Teilmenge eines Banachraumes und A eine kontrahierende Selbstabbildung von X, für alle x, y aus X gelte also:
||Ax-Ay|| <= q ||x-y|| mit einem festen positiven q < 1.
Dann besitzt A genau einen Fixpunkt x in X.

Der Fixpunkt x kann iterativ gewonnen werden:
wählt man einen beliebigen Startpunkt x0 aus X und setzt
xn+1 := A xn
mit n = 0, 1, 2, 3, ... so konvergiert xn -> x.

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